高中數學選修 4?4
坐標系與參數方程知識點總結
第一講
一 平面直角坐標系
1．平面直角坐標系
(1)數軸：規定了原點，正方向和單位長度的直線叫數軸．數軸上的點與實數之間可以
建立一一對應關系．
(2)平面直角坐標系：
①定義：在同一個平面上互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系，簡稱
為直角坐標系；
②數軸的正方向：兩條數軸分別置于水平位置與豎直位置，取向右與向上的方向分別為
兩條數軸的正方向；
③坐標軸水平的數軸叫做 x 軸或橫坐標軸，豎直的數軸叫做 y 軸或縱坐標軸，x 軸或 y
軸統稱為坐標軸；
④坐標原點：它們的公共原點稱為直角坐標系的原點；
⑤對應關系：平面直角坐標系上的點與有序實數對(x，y)之間可以建立一一對應關系．
(3)距離公式與中點坐標公式：設平面直角坐標系中，點 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，線段 P1P2
的中點為 P，填表：
兩點間的距離公式 中點 P 的坐標公式
|P1P2|＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2
x＝
x1＋x2
2
y＝
y1＋y2
2
2.平面直角坐標系中的伸縮變換
設點 P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換φ：
x′＝λx（λ>0）
y′＝μy（μ>0）
的作用下，
點 P(x，y)對應到點 P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換．
二 極坐標系
(1)定義：在平面內取一個定點 O，叫做極點；自極點 O 引一條射線 Ox 叫做極軸；再選
定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立
了一個極坐標系．
(2)極坐標系的四個要素：①極點；②極軸；③長度單位；④角度單位及它的方向．
(3)圖示
2．極坐標
(1)極坐標的定義：設 M 是平面內一點，極點 O 與點 M 的距離|OM|叫做點 M 的極徑，
記為ρ；以極軸 Ox 為始邊，射線 OM 為終邊的角 xOM 叫做點 M 的極角，記為θ.有序數對(ρ，
θ)叫做點 M 的極坐標，記作 M(ρ，θ)．
(2)極坐標系中的點與它的極坐標的對應關系：在極坐標系中，極點 O 的極坐標是(0，
θ)，(θ∈R)，若點 M 的極坐標是 M(ρ，θ)，則點 M 的極坐標也可寫成 M(ρ，θ＋2kπ)，
(k∈Z)．
若規定ρ>0，0≤θ<2π，則除極點外極坐標系內的點與有序數對(ρ，θ)之間才是一一
對應關系．
3．極坐標與直角坐標的互化公式
如圖所示，把直角坐標系的原點作為極點，x 軸的正半軸作為極軸，且長度單位相同，
設任意一點 M 的直角坐標與極坐標分別為(x，y)，(ρ，θ)．
(1)極坐標化直角坐標
x＝ρcos θ，
y＝ρsin θＷ. (2)直角坐標化極坐標
ρ2＝x
2＋y
2，
tan θ＝
y
x
（x≠0）. 三 簡單曲線的極坐標方程
1．曲線的極坐標方程
一般地，在極坐標系中，如果平面曲線 C 上任意一點的極坐標中至少有一個滿足方程
f(ρ，θ)＝0，并且坐標適合方程 f(ρ，θ)＝0 的點都在曲線 C 上，那么方程 f(ρ，θ)＝0 叫做
曲線 C 的極坐標方程．
2．圓的極坐標方程
(1)特殊情形如下表：
圓心位置 極坐標方程 圖 形
圓心在極點(0，0) ρ＝r
(0≤θ<2π)
圓心在點(r，0)
ρ＝2rcos_θ
(－
π
2
≤θ<π
2
)
圓心在點(r，
π
2
) ρ＝2rsin_θ
(0≤θ<π)
圓心在點(r，π)
ρ＝－2rcos_θ
(π
2
≤θ<
3π
2
)
圓心在點(r，
3π
2
) ρ＝－2rsin_θ
(－π<θ≤0)
(2)一般情形：設圓心 C(ρ0，θ0)，半徑為 r，M(ρ，θ)為圓上任意一點，則|CM|＝r，
∠COM＝|θ－θ0|，根據余弦定理可得圓 C 的極坐標方程為ρ
2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ
2
0－r
2＝0
即
2 cos( ) 0 0
2
0
2 2 r ? ? ? ? ? ?? ? ??
3．直線的極坐標方程
(1)特殊情形如下表：
直線位置 極坐標方程 圖 形
過極點，傾斜角為α
(1)θ＝α(ρ∈R) 或θ＝α＋π(ρ∈R)
(2)θ＝α(ρ≥0) 和θ＝π＋α(ρ≥0)
過點(a，0)，且與極軸
垂直
ρcos_θ＝a －
π
2
<θ<π
2
過點
a，
π
2 ，且與極軸
平行
ρsin_θ＝a
(0<θ<π)
過點(a，0)傾斜角為α
ρsin(α－θ)＝asin α
(0<θ<π)
(2)一般情形，設直線 l 過點 P(ρ0，θ0)，傾斜角為α，M(ρ，θ)為直線 l 上的動點，則在
△OPM 中利用正弦定理可得直線 l 的極坐標方程為 ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)．
四 柱坐標系與球坐標系簡介（了解）
1．柱坐標系
(1)定義：一般地，如圖建立空間直角坐標系 Oxyz.設 P 是空間任意一點，它在 Oxy 平面
上的射影為 Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)表示點 Q 在平面 Oxy 上的極坐標，這時點P的
位置可用有序數組（ρ，θ，z）(z∈R)表示．這樣，我們建立了空間的點與有序數組(ρ，θ，
z)之間的一種對應關系．把建立上述對應關系的坐標系叫做柱坐標系，有序數組(ρ，θ，z)
叫做點 P 的柱坐標，記作 P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0，0≤θ<2π，z∈R．
(2)空間點 P 的直角坐標(x，y，z)與柱坐標(ρ，θ，z)之間的變換公式為
x＝ρcos θ
y＝ρsin θ
z＝z ．
2．球坐標系
(1)定義：一般地，如圖建立空間直角坐標系 Oxyz.設 P 是空間任意一點，連接 OP，記
|OP|＝r，OP 與 Oz 軸正向所夾的角為φ，設 P 在 Oxy 平面上的射影為 Q，Ox 軸按逆時針方
向旋轉到 OQ 時所轉過的最小正角為θ，這樣點 P 的位置就可以用有序數組(r，φ，θ)表示，
這樣，空間的點與有序數組(r，φ，θ)之間建立了一種對應關系．把建立上述對應關系的
坐標系叫做球坐標系(或空間極坐標系)，有序數組(r，φ，θ)，叫做點 P 的球坐標，記作
P(r，φ，θ)，其中 r≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π．
(2)空間點 P 的 直
角坐標(x，y，z) 與 球
坐標(r，φ，θ) 之 間
的變換公式為
x＝rsin φcos θ
y＝rsin φsin θ
z＝rcos φ
．
第二講：
一 曲線的參數方程
1．參數方程的概念
1．參數方程的概念
(1)定義：一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標 x，y 都是某個變
數 t 的函數：
x＝f（t）
y＝g（t）
①，并且對于 t 的每一個允許值，由方程組①所確定的點 M(x，y)
都在這條曲線上，那么方程①就叫做這條曲線的參數方程，聯系變數 x，y 的變數 t 叫做參
變數，簡稱參數．相對于參數方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程．
(2)參數的意義：參數是聯系變數 x，y 的橋梁，可以是有物理意義或幾何意義的變數，
也可以是沒有明顯實際意義的變數．
2．參數方程與普通方程的區別與聯系
(1)區別：普通方程 F(x，y)＝0，直接給出了曲線上點的坐標 x，y 之間的關系，它含有
x，y 兩個變量；參數方程
x＝f（t）
y＝g（t）
(t 為參數)間接給出了曲線上點的坐標 x，y 之間的關系，
它含有三個變量 t，x，y，其中 x 和 y 都是參數 t 的函數．
(2)聯系：普通方程中自變量有一個，而且給定其中任意一個變量的值，可以確定另一
個變量的值；參數方程中自變量也只有一個，而且給定參數 t 的一個值，就可以求出唯一對
應的 x，y 的值．
這兩種方程之間可以進行互化，通過消去參數可以把參數方程化為普通方程，而通過引
入參數，也可把普通方程化為參數方程．
2．圓的參數方程
1．圓心在坐標原點，半徑為 r 的圓的參數方程
如圖圓 O 與 x 軸正半軸交點 M0(r，0)．
(1)設 M(x，y)為圓 O 上任一點，以 OM 為終邊的角設為θ，則以θ為參數的圓 O 的參數
方程是
x＝rcos θ
y＝rsin θ
(θ為參數)．
其中參數θ的幾何意義是 OM0繞 O 點逆時針旋轉到 OM 的位置時轉過的角度．
(2)設動點 M 在圓上從 M0點開始逆時針旋轉作勻速圓周運動，角速度為ω，則 OM0 經
過時間 t 轉過的角θ＝ωt，則以 t 為參數的圓 O 的參數方程為
x＝rcos ωt
y＝rsin ωt
(t 為參數)．
其中參數 t 的物理意義是質點做勻速圓周運動的時間．
2．圓心為 C(a，b)，半徑為 r 的圓的參數方程
圓心為(a，b)，半徑為 r 的圓的參數方程可以看成將圓心在原點，半徑為 r 的圓通過坐
標平移得到，所以其參數方程為
x＝a＋rcos θ，
y＝b＋rsin θ
(θ為參數)．
3．參數方程和普通方程的互化
曲線的參數方程和普通方程的互化
(1)曲線的參數方程和普通方程是在同一平面直角坐標系中表示曲線的方程的兩種不同
形式，兩種方程是等價的可以互相轉化．
(2)將曲線的參數方程化為普通方程，有利于識別曲線的類型．參數方程通過消去參數
就可得到普通方程．
(3)普通方程化參數方程，首先確定變數 x，y 中的一個與參數 t 的關系，例如 x＝f(t)，
其次將 x＝f(t)代入普通方程解出 y＝g(t)，則
x＝f（t）
y＝g（t）
(t 為參數)就是曲線的參數方程．
(4)在參數方程與普通方程的互化中，必須使 x，y 的取值范圍保持一致．
二 圓錐曲線的參數方程
1．橢圓的參數方程
橢圓的參數方程
(1)中心在原點，焦點在 x 軸上的橢圓
x
2
a
2＋
y
2
b
2＝1(a>b>0)的參數方程是
x＝acos φ
y＝bsin φ
(φ是參
數)，規定參數φ的取值范圍是[0，2π)．
(2)中心在原點，焦點在 y 軸上的橢圓
y
2
a
2＋
x
2
b
2＝1(a>b>0)的參數方程是
x＝bcos φ
y＝asin φ
(φ是參
數)，規定參數φ的取值范圍是[0，2π)．
(3)中心在(h，k)的橢圓普通方程為
（x－h）2
a
2
＋
（y－k）2
b
2 ＝1，則其參數方程為
x＝h＋acos φ
y＝k＋bsin φ
(φ是參數)．
2．雙曲線的參數方程和拋物線的參數方程
1．雙曲線的參數方程
(1)中心在原點，焦點在 x 軸上的雙曲線
x
2
a
2－
y
2
b
2＝1 的參數方程是
x＝asec φ
y＝btan φ
(φ為參數)，
規定參數φ的取值范圍為φ∈[0，2π)且φ≠
π
2 ，φ≠
3π
2 ．
(2)中心在原點，焦點在 y 軸上的雙曲線
y
2
a
2－
x
2
b
2＝1 的參數方程是
x＝btan φ
y＝asec φ
(φ為參數)．
2．拋物線的參數方程
(1)拋物線 y
2＝2px 的參數方程為
x＝2pt2
y＝2pt
(t 為參數)．
(2)參數 t 的幾何意義是拋物線上除頂點外的任意一點與原點連線的斜率的倒數．
三 直線的參數方程
1．直線的參數方程
經過點 M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線 l 的參數方程為
x＝x0＋tcos α
y＝y0＋tsin α
(t 為參數)．
2．直線的參數方程中參數 t 的幾何意義
(1)參數 t 的絕對值表示參數 t 所對應的點 M 到定點 M0的距離．
(2)當M0M→ 與 e(直線的單位方向向量)同向時，t 取正數．當M0M→ 與 e 反向時，t 取負數，
當 M 與 M0重合時，t＝0．
3．直線參數方程的其他形式
對于同一條直線的普通方程，選取的參數不同，會得到不同的參數方程．我們把過點
M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線，選取參數 t＝M0M 得到的參數方程
x＝x0＋tcos α
y＝y0＋tsin α
(t 為參數)
稱為直線參數方程的標準形式，此時的參數 t 有明確的幾何意義．
一般地，過點 M0(x0，y0)，斜率 k＝
b
a
(a，b 為常數)的直線，參數方程為
x＝x0＋at
y＝y0＋bt
(t 為參
數)，稱為直線參數方程的一般形式，此時的參數 t 不具有標準式中參數的幾何意義．
四 漸開線與擺線（了解）
1．漸開線的概念及參數方程
(1)漸開線的產生過程及定義
把一條沒有彈性的細繩繞在一個圓盤上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持
繩子與圓相切，逐漸展開，鉛筆畫出的曲線叫做圓的漸開線，相應的定圓叫做漸開線的基圓．
(2)圓的漸開線的參數方程
以基圓圓心 O 為原點，直線 OA 為 x 軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．設基圓的半
徑為 r，繩子外端 M 的坐標為(x，y)，則有
x＝r（cos φ＋φsin φ），
y＝r（sin φ－φcosφ）
(φ是參數)．這就是圓
的漸開線的參數方程．
2．擺線的概念及參數方程
(1)擺線的產生過程及定義
平面內，一個動圓沿著一條定直線無滑動地滾動時圓周上一個固定點所經過的軌跡，叫
做平擺線，簡稱擺線，又叫旋輪線．
(2)半徑為 r 的圓所產生擺線的參數方程為
x＝r（φ－sin φ），
y＝r（1－cos φ）
(φ是參數)．
編輯者：成都家教網（www.37aeae.com)